1. Диагональ многогранника — это отрезок, соединяющий:
а) две вершины, не принадлежащие одной грани +
б) любые две вершины многогранника
в) две вершины, принадлежащие одной грани
2. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани называется:
а) гранью
б) диагональю +
в) ребром
3. Выберите неверное утверждение:
а) Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту
б) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен половине произведения катетов на высоту призмы
в) Объём прямой призмы равен произведению периметра основания на высоту призмы +
4. Укажите, сколько граней у шестиугольной пирамиды:
а) 7 +
б) 6
в) 8
5. Выберите условие, которому должна удовлетворять четырёхугольная призма, чтобы вокруг неё можно было описать сферу:
а) Правильная призма
б) Параллелепипед
в) Прямая призма, в сновании которой квадрат +
6. Выберите условие, которому должна удовлетворять четырёхугольная призма, чтобы вокруг неё можно было описать сферу:
а) Параллелепипед
б) Куб +
в) Прямая правильная призма
7. Выберите верное утверждение:
а) Сечение прямоугольного параллелепипеда, проходящее через середины всех боковых рёбер, может разделить его на два параллелепипеда с неравными объёмами
б) Плоскость симметрии правильной треугольной призмы может разделить её на две призмы с неравными объёмами
в) Плоскость, не являющаяся плоскостью симметрии правильной треугольной призмы, может разделить её на две призмы с равными объёмами +
8. Выберите верное утверждение:
а) Прямая и наклонные призмы с соответственно равными основаниями могут иметь равные объёмы +
б) Плоскость симметрии правильной треугольной призмы может разделить её на две призмы с неравными объёмами
в) Диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда может разделить параллелепипед на две призмы с неравными объёмами
9. Многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований называется:
а) призмой
б) кубом
в) пирамидой +
10. Если высота пирамиды проходит через центр окружности вписанной в основание, то:
а) углы между высотой пирамиды и боковыми рёбрами равны
б) высоты боковых граней пирамиды равны +
в) боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним углом
11. Если высота пирамиды проходит через центр окружности вписанной в основание, то:
а) углы между высотой пирамиды и высотами боковых граней равны +
б) боковые рёбра пирамиды равны
в) углы между высотой пирамиды и боковыми рёбрами равны
12. Если высота пирамиды проходит через центр окружности вписанной в основание, то:
а) боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним углом
б) линейные углы двугранных углов при основании равны +
в) боковые рёбра пирамиды равны
13. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:
а) апофемой +
б) медианой
в) диагональю
14. Высота пирамиды является:
а) медианой
б) осью
в) перпендикуляром +
15. У пятиугольной пирамиды:
а) 1 грань +
б) 2 грани
в) 3 грани
16. У пятиугольной призмы:
а) 1 грань
б) 2 грани +
в) 3 грани
17. Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°. Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.:
а) 130
б) 112
в) 113 +
18. В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB. Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.:
а) 22-12√9
б) 24-12√3 +
в) 24-8√6
19. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды:
а) 34
б) 170
в) 340 +
20. Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB:
а) 3√2
б) 5√2 +
в) 4√2
21. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонён к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника:
а) 45° +
б) 50°
в) 30°
22. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и E так, что ОE = 5 см и ВD = 2/3. Плоскость a проходит через точки B и С и параллельна отрезку ОE. Найдите длину отрезка ВС:
а) 33/5
б) 25/3 +
в) 1/4
23. Даны две параллельные плоскости α и β. Через точки А и В плоскости α проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β в точках А1 и В1. Найдите А1В1, если АВ=5 см:
а) 10 см
б) 15 см
в) 5 см +
24. Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 800 м и 300 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах:
а) 1200
б) 1400 +
в) 1000
25. Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 2AN. Точка B — середина стороны KN. Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.:
а) 1 : 3
б) 2 : 1
в) 1 : 2 +
26. В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M. Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 216 и известно отношение AC : AB = 5 : 4:
а) 268,6
б) 268,8 +
в) 288,8
27. Отрезки AK, BL, CN — высоты остроугольного треугольника АВС. Точки Р и Q — проекции точки N на стороны АС и ВС соответственно. Найдите площадь четырехугольника PQKL, если известно, что CN = 12, AC = 13, BC = 15:
а) 20412/845 +
б) 2041/485
в) 14218/548
28. Точка Е — середина стороны BС квадрата АВСD. Серединные перпендикуляры к отрезкам АЕ и ЕС пересекаются в точке O. Найдите BO:OD:
а) 1 : 2
б) 2 : 1
в) 3 : 1 +
29. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые. Найдите AD, если AB = 2, BC = 7:
а) 8 +
б) 16
в) 5
30. Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17. Найдите площадь трапеции:
а) 120
б) 60 +
в) 32